(번역)The DFT “à Pied”: 하루 안에 푸리에변환 마스터하기 - 6

원문 : http://www.dspdimension.com/admin/dft-a-pied/
Posted by Bernsee on September 21, 1999

Step 6 : DFT(Discrete Fourier Transform)

사인 변환에서 푸리에 변환까지 과정을 더 '일반화' 시킴으로써 간단하다. 사인 변환에 측정된 각 진동수를 위한 사인 파형을 사용하는 반면, 푸리에 변환에서는 사인 코사인 파형을 둘다 사용했다. That is, for any frequency we are looking at we ‘compare’ (or ‘resonate’) our measured signal with both a cosine and a sine wave of the same frequency. 만약 우리 신호가 사인 파형과 굉장히 닮았다면, 우리 변환의 사인 부분은 큰 진폭을 가질것이다. 만약 코사인 파형과 닮았다면, 코사인 부분이 커지게 될 것이다. 사인 파형과 정반대라면, 이것은 영에서 시작하여 1로 올라가는게 아니라 -1로 떨어지르것이다, 사인 부분은 음수의 값이 큰 진폭을 가질 것이다. 사인 코사인 위상은 받은 진동수에서 임의의 사인 형태로 보여질 수 있는것과 같이 +와 - 둘이 함께 보여질 수 있다.

//
// Listing 1.2: The direct realization of the Discrete Fourier Transform***:
//

#define M_PI 3.14159265358979323846

long bin, k;
double arg, sign = -1.; /* sign = -1 -> FFT, 1 -> iFFT */

for (bin = 0; bin <= transformLength/2; bin++) {
    cosPart[bin] = (sinPart[bin] = 0.);
    for (k = 0; k < transformLength; k++) {

        arg = 2.*(float)bin*M_PI*(float)k / (float)transformLength;
        sinPart[bin] += inputData[k] * sign * sin(arg);
        cosPart[bin] += inputData[k] * cos(arg);   

     }
}

우리는 여전히 푸리에 변환에 의해 뭔가 유용한 것을 얻어내야하는 과제를 남겨놓고 있다. I have claimed that the benefit of the Fourier transform over the Sine and Cosine transform is that we are working with sinusoids. 그러나 우리는 어떠한 정령 파도 보지 않았다, 오로지 싸인과 코싸인만 있다. 으음 이것은 추가적인 처리를 요구한다.

//
// Listing 1.3: Getting sinusoid frequency, magnitude and phase from 
// the Discrete Fourier Transform:
//

#define M_PI 3.14159265358979323846

long bin;
for (bin = 0; bin <= transformLength/2; bin++) {

    /* frequency */
    frequency[bin] = (float)bin * sampleRate / (float)transformLength;
    /* magnitude */
    magnitude[bin] = 20. * log10( 2. * sqrt( sinPart[bin]*sinPart[bin] + cosPart[bin]*cosPart[bin]) / (float)transformLength);
    
    /* phase */
    phase[bin] = 180.*atan2(sinPart[bin], cosPart[bin]) / M_PI - 90.;

}

DFT 아웃풋의 위 코드를 실행한 한 뒤에, 우리는 정형파의 합으로써 인풋 신호의 계산을 끝날 것이다. k-th 정형파는 frequency[k], magnitude[k] 그리고 phase[k]에 의해 설명된다. 단위는 Hz (Hertz, periods per seconds), dB (Decibel) 그리고 ° (Degree)이다. 이전에 계산한 1.3 Listing의 싱글 정형파의 사인 코사인 부분을 변환한뒤, 이제 항상 양수를 가지는 k-th 정형파의 DFT bin "magnitude" 진폭이라 부를것이고 이것을 기억하고 있어라. 우리는 진폭이 -1.0이든 1.0이든 위상이 +혹은 -180도 다른 magnitude가 1.0이라고 말 할 수 있다. 관련 문헌에서는, magnitude[ ] 배열을 측정된 신호의 Magnitude Spectrum라 부르고, phase[ ] 배열을 프리에 변환에 의해 계산된 측정된 신호의 Phase Spectrum이라 부른다.

데시벨에 bin magnitude를 측정하기 위해 참조함으로써, 우리의 인풋 파형은 DFS(digital full scale)의 0dB 크기를 갖는 [-1.0, 1.0] 범위의 값을 가질 것으로 예상 할 수 있다. DFT의 어플리케이션에 흥미를 보임으로써, 예를 들어 listing 1.3은 DFT를 기반으로한 스펙트럼 분석을 도출하는데 사용될 수 있다.