(번역)The DFT “à Pied”: 하루 안에 푸리에변환 마스터하기 - 5

원문 : http://www.dspdimension.com/admin/dft-a-pied/
Posted by Bernsee on September 21, 1999

Step 5 : Apple과 Oranges에 대해

만약 아직 당신이 따라오고 있다면, 푸리에 변환에 대한 여행이 거의 끝나간다. 우리는 얼마나 많은 사인 파형이 필요로 하는지에 대해 배웠고, 필요로 하는 수는 우리가 보고있는 샘플 수와 밀접한 관게가 있다는것, 낮은 주파수와 높은 진동수의 경계에 있는 것과 어쨋든 우리의 레시피를 완성시키기 위해서는 각 부분의 파형의 진폭을 결정할 필요가 있다는 것을 배웠다. 아직 완벽하게 해결한 것은 아니지만 샘플들을 어떻게 조리할지 결정할 수는 있을 것이다. 쉽게말하면, 우리가 측정한 샘플들과 우리가 알고 있는 진동수의 사인파형을 비교함으로써 사인파형의 진폭을 알아내고, 그것들이 어떻게 '같은지'에 대해 알아내보았다. 만약 그것들이 완벽히 같다면 그 사인파형은 반드시 같은 진폭이고 만약 참고하고있는 사인파형과 우리의 신호가 맞지 않다면 아닐 같은 진폭이 아닐 것이다. 그런데 어떻게 우리가 알고 있는 사인파형과 샘플 신호를 효과적으로 비교할 것인가? 다행히도 DSPer은 이 부분을 미리 만들어 놓았다. 사실 숫자를 곱하거나 더하는 아주 쉬운 부분이다. - 우리는 알고있는 진동수와 유닛진폭(이것은 계산기나 우리 컴퓨터의 sin( )함수로부터 나온 오직 한개의 진폭을 의미한다.)의 '참조하는' 사인파형을 계산하고, 우리의 신호 샘플들을 곱한다. 곱해진 결과값을 더하고나서, 우리가 다루고있는 진동수로부터 사인파형의 진폭을 얻어낸다.

이것을 C로 나타내면 아래와 같이 된다.

#define M_PI 3.14159265358979323846

long bin, k;
double arg;
for (bin = 0; bin < transformLength; bin++) {
    transformData[bin] = 0.;
    for (k = 0; k<transformLength; k++) {

        arg = (float)bin * M_PI * (float)k / (float)transformLength;
        transformData[bin] += inputData[k] * sin(arg);
    }
}

이 코드는 inputData[0...transformLength-1] 에 저장된 샘플 포인트를 transformData[0...transformLength-1]에 사인 파형의 진폭들의 배열 형태로 변환한다. According to common terminology, we call the frequency steps of our reference sine wave bins, which means that they can be thought of as being ‘containers’ in which we put the amplitude of any of the partial waves we evaluate. 일반적으로 쓰이는 용어를 빌리지면, 우리가 계산한 부분 파형의 어떤 진폭을 담은 'containers' 로써 생각될 수 있음을 의미하며, 참조하는 사인 파형 bin들의 진동수 단계라고 부른다. 
DST(Discrete Sine Transform)는 사인파형 부분들의 진폭을 구하기 위해 우리의 신호가 어떻게 생겼는지 모르거나 아니면 우리가 효과적인 방법을 사용할 수 있다고 가정하는 그러한 일반적인 흐름을 따른다. (예를들어 우리가 미리 우리의 신호가 알고있던 진동수의 한 ㅏ인 파형이라고 안다면, 우리는 즉시 사인파형의 큰 범위를 계산함 없이 진폭을 구할 수 있을 것이다. 푸리에이론에 기반한 이 효과적인 접근은 “Goertzel” 알고리즘을 찾을 수 있게 해주었다.)