원문 : Mastering The Fourier Transform in One Day
Posted by Bernsee on September 21, 1999

Step 3 : “많다”는게 얼만큼인가?

위에서 확인했듯이, 복잡한 모양의 파형은 사인 파형들의 조합으로 만들어 질 수 있다. 우리는 이렇게 질문을 던질 수 있다. “컴퓨터가 신호를 만드는데 얼마나 많이 필요로 하나?” 흠.. 물론 이것은 하나의 사인파형일 수도 있다. 그 주어진 사인파형으로 우리가 다룰 그 시그널이 어떻게 만들어지는지 알고있다. 대부분 우리는 복잡한 구조의 현실세계 신호를 다룬다. 따라서 우리는 현재 파형의 얼만큼 나누어져있는지 미리 알지 못한다. 이 경우, 원본 신호를 구성하는 사인파형이 얼마나 많은 상한선을 필요로하는지 모르는 것은 얼마나 다행스런 일인지 모른다. 그치만 여전히 "얼마나 많이”에 대한 질문은 해결되지 않았다. 그럼 좀 직관적으로 접근해보자: 신호 중 1000개의 샘플이 있다고 가정해보자. 이 짧은 주기(신호 안에 대부분 최댓값과 최솟값이 있는)에 있을 수 있는 사인 파형은 모든 샘플마다 최댓값과 최솟값을 왓다갓다 했다. 그러므로 모든 샘플이 피크가 있다고 가정할 때, 가장 높은 주파수의 사인파형은 1000개의 샘플에서 500개의 최댓값과 500개의 최솟값을 가진다. 아래 그래프의 검정색 점을 말하는 것이다. 따라서 가장 진동수가 높은 사인 파형은 아래와 같이 생겼다. 


이제 가장 낮은 진동수의 사인 파형이 어떻게 생겼는지 확인해 보자. 만약 우리가 오직 하나의 샘플 점을 얻었다면, 이 점 하나가지고 어떻게 사인파형의 최댓값과 최솟값을 구하겠는가? 할 수 없다, 그러므로 이 한 점으로부터 나올 수 있는 파형의 주기는 무수히 많다.


그러므로 한개의 데이터 점은 전동수를 표현하기에는 충분하지 않다는 것이다. 이제 우리는 두개의 샘플이 지정되있을 경우, 이 두개의 점을 가지고 가장 낮은 진동수의 사인파형을 만들 수 있을까? 이 경우는 굉장히 단순하다. 여기서 두 점으로 부터 얻은 가장 낮은 진동수의 파형은 오직 하나밖에 없다. 아래 그림을 보자.



한뼘 정도 되는 두 못 사이에 줄이 연결되어 있는 상황을 상상해 보아라 (위 그래프는 사인 파형이 주기를 갖는다는 것을 세개의 점으로 표현한 것이다. 그러나 우리는 진동 수를 알아내기 위해 단지 제일 왼쪽 두 점만 있으면 된다). 사인 파형이 두 점 사이에서 왼쪽으로 가는 것과 같이, 우리가 볼 수 있는 가장 낮은 진동수는 두 못 사이에서 앞 뒤로 흔들리는 줄이다. 1000개의 샘플을 가지고 있다면, 두 ‘못’은 첫번째 샘플과 마지막 샘플이 될 수 있을 것이다, 예를들어 샘플 1번과 샘플 1000번. 우리는 우리의 경험으로 악기의 현 길이가 길어질수록 진동수가 낮아진다는 것을 안다. 그래서 우리는 못을 멀리 떨어뜨릴수록 사인파형의 주파수가 낮아짐을 예상할 수 있다. If we choose 2000 samples, for instance, the lowest sine wave will be much lower since our ‘nails’ are now sample number 1 and sample number 2000. 사실 1000 샘플에서 못을 두배 멀리 떨어뜨리면, 두배로 낮아질 것이다. 그러므로 우리가 더 많은 샘플을 가지고 있으면 0을 교차하는 점('못')을 멀리 떨어뜨려 더 낮은 주파수를 구할 수 있다. 이것은 설명을 이해하는데 굉장히 중요한 부분이다. 

또한 두 ‘못’과 함께 파형은 오르막 경사와 함께 반복된 후에 확인 할 수 있을 것이다(처음과 세번째 못은 동일하다). This means that any two adjacent nails embrace exactly one half of the complete sine wave, 다른말로는 한 최대점 혹은 한 최솟점 혹은 1/2 주기이다.


방금 무엇을 배웠는지 요약하자면, we see that the upper frequency of a sampled sine wave is every other sample being a peak and a valley and the lower frequency bound is half a period of the sine wave which is just fitting in the number of samples we are looking at. But wait – wouldn’t this mean that while the upper frequency remains fixed, the lowest frequency would drop when we have more samples? 정확하다! 우리는 낮은 주파수에서 시작하기 때문에, 이 결과는 알 수 없는 컨텐트의 더 긴 신호를 합치길 원할 때 더 많은 사인 파형을 필요로 하게 될 것이다.

모든것이 순조롭다. 그러나 여전히 결과적으로 얼마만큼의 사인 파형이 필요한지는 알 지 못했다. 이제 낮은 주파수나 높은 주파수의 사인 파형의 일부분을 알 수 있음으로써, 우리는 이 두 한계치 사이에서 얼만큼이 맞는지 계산할 수 있다. 우리는 극좌에서 극우까지 사이에서 가장 낮은 사인파형을 넣었어야 하기 때문에, 다른 모든 사인 파형 뿐만 아니라 nails까지 필요로 한다(왜 저렇게 다르게 다루고 있는가? 모든 사인파형은 같게 만들어지기 때문!). 단지 기타에서 두 고정된 점이 연결되 있는 현을 사인파형이라고 상상해보아라. 현은 두 고정된 점 사이에서만 진동할 것이다(부서지지 않는한), 우리의 사인 파형과 닮았다. 우리가 다루고 있는 1000 샘플에서 가장 낮은 1/2 주기를 가진 부분, 1주기를 가진 두번째 부분, 1과 1/2(1.5)주기를 가진 세번째 부분의 관계를 도출해낸다.

그림으로 그려보면 아래와 같다.


이제 1000샘플에서 얼마나 많은 사인파형이 적당한가를 물어본다면, 정확히 1000개의 사인 파형이 필요하다고 답해주면 된다. 사실 우리는 항상 가지고 있는 샘플의 수에 따라 사인파형이 필요하다는 것을 발견할 것이다.




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